함수 교수 학습 이론 3

프로이덴탈의 교수학적 현상학에 따른 함수 지도 방법에 이어 크라벤담과 얀비에의 함수 지도 방법에 대해서 알아보고 함수를 지도할 때 학생들에게 생기는 인식론적 장애를 어떻게 극복시켜야 할지 알아보도록 하자.

 

3) 크라벤담의 질적 접근에 따른 함수 그래프 지도

그래프를 지도하는 방식을 두 가지 기준에 따라 분류할 수 있다. 한 가지 기준은 그래프를 읽거나 그릴 때 공간에서 초점을 어디에 두느냐 하는 것이다.

1. 점별 접근 : 그래프를 해석할 때 한 점에만 초점을 맞추는 것으로, 그 점에 해당하는 독립 변수에 대한 종속 변수의 값을 읽거나 그 점의 종속 변수에 해당하는 독립 변수의 값을 읽는 것을 의미한다.

2. 국소적 접근 : 한 점이 아니라 한 점의 근방에서 그래프의 변화를 보는 것으로 증가와 감소, 양수와 음수, 연속, 극대와 극소, 기울기의 정도, 불연속적인 점, 오목과 볼록 등의 성질을 읽는 것을 의미한다.

3. 전체적 접근 : 국소적 접근과 달리 한 점의 근방에서 그래프의 변화를 살펴보는 것이 아니라 어떤 구간에서 전체 구간에 걸쳐 그래프를 해석하는 것으로 양의 구간, 음의 구간, 증가와 감소 구간, 연속인 구간, 극대와 극소, 최대와 최소, 단조성, 주기성 등의 성질을 읽는 것을 말한다.

 

또 다른 기준은 수치적인 값에 초점을 두는지 그렇지 않은지에 따르는 것이다.

1. 양적 접근 : 정확한 수치적 자료를 이용해서 좌표평면이나 좌표공간에 이를 정확하게 그림으로써 변화의 특징을 설명하고 예측하는 것을 의미한다.

2. 질적 접근 : 어떤 상황을 수량화되지 않은 상태로 개략적으로 표현하고 설명하는 것을 의미한다.

 

그래프를 의미 있게 사용하려면 여러 가지 접근 방식의 통합이 필요하다. 일반적으로 학생들은 점별 접근, 국소적 접근, 양적 접근에 대한 경험이 많지만, 질적 접근에 대해서는 그렇지 못하다.

그래프를 처음 다루는 단계에서는 좌표평면이나 모눈종이와 같은 고정된 틀이 제시되기 이전에 비수치적이고 개략적인 형태의 그래프를 그려보고, 이를 해석하는 활동에 주목하는 질적인 접근으로 시작하고, 그 이후의 정교화 단계에서 수치적이고 좀 더 정확한 표현의 단계로 전환하는 것이 바람직하다.

 

4) 얀비에의 번역 활동에 따른 함수 지도

수학에서 함수를 표현하는 양식은 상황 · 언어적 표현, 표, 그래프, 공식 등으로 구분할 수 있는데, 이들 사이의 번역 과정은 측정하기, 그래프 개형 그리기, 모델링, 읽기, 점 찍기, 공식 알아내기, 해석하기, 점의 좌표 읽기, 곡선 알아내기, 매개변수 인식하기, 계산하기의 요소로 구성된다.

	상황, 언어적 표현	표	그래프	공식
상황, 언어적 표현		측정하기	그래프 개형 그리기	모델링
표	읽기		점 찍기	공식 알아내기
그래프	해석하기	점의 좌표 읽기		곡선 알아내기
공식	매개변수 인식하기	계산하기	그래프 개형 그리기

함수의 그래프 개형 그리기는 주어진 공식에 수를 대입해서 표를 만들고 적당한 축척을 정해서 좌표평면 위에 점을 나타내고 그 점들을 이어서 부드러운 곡선으로 이어주는 것을 의미한다. 이 활동은 학생들에게 증가 구간, 불연속성 등과 같은 그래프의 전반적인 특성을 개관할 수 있게 하고, 그래프에 맞는 상황을 찾아봄으로써 의미를 부여할 수 있도록 해야 한다.

그래프 개형 그리기와 해석하기는 함수에 대한 기본적인 이해가 시작되는 곳이다. 학생들에게는 그래프가 어떤 상황을 얼마나 효율적으로 기술하는가를 알게 하는 기회를 제공한다. 이때 중요한 것은 너무 세부적인 사항에 초점을 맞추기보다는 그래프의 개략적인 형태를 이해하고 해석하는 것이 중요하다.

측정하기와 식 알아내기는 어떤 문제 상황에서 측정한 결과를 표로 나타낸 다음 그에 적합한 대수식을 찾아보는 것을 의미한다.

매개변수 인식하기는 식에서 변수가 여러 개 있는 경우에 그중에 매개변수를 가려내고 매개변수에 따르는 함수의 변화를 이해하도록 하는 과정을 의미한다.

대수적 모델링은 함수 지도에서 가장 어려운 부분일 수도 있는데, 주어진 상황이나 언어적 진술에서 변수를 인식하여 기호화하고, 변수 사이의 함수 관계를 찾아 문제를 해결한 수 문제 상황에 적합하게 해석하는 것을 포함한다.

 

5) 함수 학습의 인식론적 장애

함수 학습의 어려움에 대한 관점을 두 가지 정도로 생각해 볼 수 있다. 첫 번째는 수학을 배우는 과정에서 불가피하게 나타나는 현상으로 학생들이 성장하면서 어려움을 극복해 나가는 것으로 보는 관점이고, 두 번째는 학생들의 수학적 성장을 심각하게 방해하는 요인으로 보는 관점이다. 최근에는 학생들이 학습 과정에 겪는 어려움에 대해 긍정적인 관점으로 받아들이는 경향이 있다.

1. 인식론적 장애 : 어떤 특정한 맥락에서 성공적이고 유용하였던 지식이 학생의 인지 구조의 일부가 되었지만, 새로운 문제 상황이나 더 넓어진 문맥에서는 부적합해진 경우를 말한다. 예를 들어 변하는 대상의 인식에 대한 두려움, 독립변수와 종속변수의 구분, 함수와 비례 관계의 구분, 함수와 인과 관계의 구분, 함수와 함수의 다양한 표현 사이의 구분, 변수 개념의 확장 등이다.

2. 개념 이미지와 개념 정의의 불일치 : 개념 정의는 수학의 형식적인 정의를 의미하며, 개념 이미지는 개념 이름과 더불어 마음속에 연상되는 비언어적 실체를 의미한다. 학생들은 개념 정의보다는 개념 이미지에 많은 영향을 받는 경향이 있다.

 

함수 학습과 관련해서 위에서 언급한 인식론적 장애와 개념 정의와 개념 이미지의 불일치에서 비롯되는 어려움은 중복되는 것이 많기 때문에, 여기서는 두 가지 근거에서 비롯되는 어려움을 통합하여 몇 가지로 나누어 살펴보자.

1. 변화 현상을 관찰하면서 변하는 대상이 무엇인지, 그 대상을 변하게 하는 것이 무엇인지 명확히 파악하지 못하는 경향이 있다.

2. 함수의 정의에서 독립변수와 종속변수의 비대칭성을 잘 인식하지 못한다.

3. 함숫값은 독립변수에 따라서 변화되어야 한다는 선입관을 가지고 있다.

4. 함수를 체계적인 규칙이나 대수식으로 보는 경향이 강하며, 종속변수의 값을 구하기 위해 독립변수에 실행된 조작이라고 생각하는 경향이 있다.

5. 함수는 모든 정의역에서 한 가지 규칙이나 대수식으로 표현되어야 한다고 생각하는 경향이 있다.

6. 함수를 함수의 다양한 표현, 즉 표, 대수식, 곡선으로서의 그래프 등과 동일시하는 경향이 있다.

7. 함수에서 중요한 변수 개념을 이해하는 데 어려움이 있다.

8. 학생들은 함수의 정의에서 나타나는 일가성, 일대일 함수, 일대일 대응의 의미를 혼동하기가 쉽다.

따라서 함수를 지도할 때는 적절한 순간에 다양한 함수를 경험시킴으로써 이러한 어려움들을 극복하고 함수의 의미를 확장해나갈 수 있도록 하는 것이 중요하다.