함수 교수 학습 이론 2

1) 함수의 여러 측면과 함수의 도입

함수를 처음 접하게 되는 학생들에게는 함수의 서로 다른 측면들 사이를 전환할 수 있는 능력이 결여되어 있을 뿐만 아니라 함수의 어느 한 측면에 대해 잘 알고 있는 것이 다른 측면을 이해하는 데 방해가 될 수도 있다. 따라서 학생들에게 함수를 지도하기 위한 수업 계열이 함수의 학습에 상당히 중요한 문제가 될 수 있다.

 

1. 종속성 : 변화하는 현상에서 두 변수 사이의 종속 관계를 의미한다. 학생들은 이러한 종속성을 다루면서 독립변수와 종속변수의 의미 등을 이해할 수 있다.

2. 그래프 : 그래프는 함수를 표현하는 데 널리 사용하는 방법으로 증가, 감소, 극값, 최대, 최소, 변곡점 등을 설명할 수 있는 시각적 이미지를 의미한다. 함수를 그래프로 생각하는 학생은 연속적인 곡선은 함수로 받아들이지만, 불연속적인 곡선을 함수로 받아들이기는 쉽지 않을 것이다.

3. 공식 : 주로 변수 사이의 종속 관계를 독립변수를 포함한 대수식으로 나타내는 것을 의미한다. 함수를 공식으로 생각하는 학생은 두 개 이상의 공식으로 표현되는 함수나 임의의 대응이나 순서쌍으로 제시되는 함수를 이해하기는 어려울 것이다.

4. 행동 : 대상에 대한 반복 가능한 조작을 의미하는 것으로 함수를 나타내는 대수식에 수나 식을 대입해서 계산할 수 있는 능력과 관계된다. 그러나 함수가 하나의 대수식이 아니라 구간에 따라 다른 식으로 표현되거나 식으로 제시되지 않는 경우에는 함수로 이해하거나 합성과 역을 구하는 일은 쉽지 않을 것이다.

5. 과정 : 컴퓨터 프로그램이 자료를 처리하듯이 함수를 입력, 변환, 출력의 처리 과정으로 보는 것을 의미한다.

6. 대응 : 두 집합 X, Y가 있을 때, 임의의 $ x\in X $ 에 대하여 유일한 $ y $가 존재하는 것을 의미한다. 이는 전사, 단사, 일대일 함수의 개념과 함께 정의역, 치역의 개념 등을 함께 다룬다.

7. 순서쌍 : 이는 역사적으로 복잡한 과정을 거쳐 정의된 추상적인 개념이다. 학생들은 이 개념을 매우 추상적으로 느낄 수도 있지만, 고등수학에서는 유용한 개념일 수 있다.

8. 대상 : 함수 자체를 하나의 실체로 파악하는 것을 말한다. 함수를 대상으로 이해하는 학생들은 함수를 집합의 한 원소로 볼 수도 있고, 함수 연산이 가능하고, 함수를 대상으로 하는 사상을 이해할 수 있다.

 

학생들은 이러한 측면 중에서 일부만을 파악하고 한 측면에서 다른 측면으로의 전이가 쉽지 않다. 그러나 함수의 여러 측면에 대한 이해는 수학의 응용뿐만 아니라 추상 수학을 이해하는 데도 중요하다.

 

함수는 역사적으로 현실 세계의 변화와 종속성을 설명하기 위한 도구로서 발생한 역동적인 개념이고, 함수가 수학적으로 중요하게 부각되는 이유는 함수의 연산 특히 합성과 역함수의 조작 가능성임을 고려한다면, 함수를 대응으로 도입하는 것은 학생들이 함수의 변화적 속성과 역동적인 측면을 파악하는데 적절하지 못하다고 보는 관점이 있다. 반면 학생들에게 함수와 관련해서 지도해야 할 목표가 대응이라면 종속이 관점에서 대응의 관점으로 발전시키기가 어렵기 때문에, 또는 종속성의 관점은 엄밀하지 않기 때문에 함수를 대응으로 도입하는 것이 더 적절하다고 보는 관점도 있다.

 

2) 프로이덴탈의 교수학적 현상학에 따른 함수 지도

교수학적 현상학은 프로이덴탈이 주장하는 것으로 수학은 어떤 배경이 되는 현상에 관련된 문제를 해결하고 다양한 상황에 관련된 개념을 일반화하고 형식화하는 과정에서 발달한 것이므로, 학생들에게 이러한 수학을 가르칠 때 발생 배경이 된 현상들을 적절하게 반영해야 한다는 의미이다. 교사는 역사적 · 수학적 분석을 통해 함수가 발생하게 된 현상을 충분히 이해하고 학생들의 현실 세계에서 함수가 응용되는 상황을 분석하고, 학생들에게 함수를 처음 접하게 하는 상황에서부터 수학적으로 촉진할 수 있는 상황에 이르기까지 점차 함수를 학습할 수 있는 문제들을 찾는 노력을 기울여야 한다.

 

가) 다양한 함수 현상

(1) 증가와 감소에 관련된 현상

학생들이 어린 시기에 경험하게 되는 함수 현상으로 증가와 감소 현상이 있다. 대략적인 변화 형태를 대략적인 그림 형태로 예측해 보는 활동이 가능할 것이다.

시간에 따른 온도 변화도 쉽게 접할 수 있는 현상이며, 온도 변화에 대한 자료가 이산적으로 제시되기 때문에 내삽의 경험도 가능하다.

시간에 따른 나이 변화는 불연속적인 함수를 경험할 수 있는 좋은 예가 될 것이다.

용이게 액체를 담거나 목욕탕에 물을 채우거나, 차에 휘발유를 넣는 것 등 시간에 따라 용량이 변하는 현상들도 쉽게 접하는 것으로 다양한 활동이 가능하다.

 

(2) 포물선 운동과 관련된 현상

학생들이 쉽게 접하는 함수 현상 중에 어린 시절부터 공 던지기, 축구, 농구, 배드민턴, 테니스, 다이빙, 스키 등 스포츠나 분수대의 물줄기 등을 통해서 많이 접하게 되는 포물선 모양을 그려내는 변화가 있다.

공기 저항을 고려한 변화에 대해서 예측하는 활동을 같이 할 수도 있고, 다리나 건물의 설계와 관련해서도 학생들이 간단한 설계와 직접 모형을 만들어보는 활동도 가능할 것이다.

 

(3) 주기적 변화와 관련된 현상

학생들이 쉽게 접할 수 있는 현상 중에는 주기적인 변화를 특성으로 갖는 것들이 있다. 그 예로는 밀물과 썰물의 변화에 따른 수면의 변화, 바퀴 위의 한 동점의 자취나 비행기 프로펠러의 움직임, 달의 모양 변화, 하루, 한 달, 일 년의 반복, 계절의 반복과 관련된 주기성 등이 있다.

이러한 주기성은 바이오 곡선과 같이 인간의 신체적, 정서적 변화나 혈압의 변화와도 관련이 깊다.

 

(4) 지수적 성장과 관련된 현상

학생들이 경험하는 현상에는 처음에는 별 차이가 없지만, 시간이 지날갈수록 '점점 더 빠르게', '점점 더 느리게'와 같은 표현을 할 수 있는 지수적인 성장이라 부를 수 있는 것들이 많다. 학생들은 이야기 속에 나타나는 상황을 이해하다 보면 지수적 증가라는 것이 얼마나 위력이 큰 것인지를 잘 경험할 수 있다. 박테리아나 미생물의 성장, 인구 증가, 천연자원의 소모, 음식 문제, 오염의 증가, 방사선의 소멸 시간, 약이 인체에 흡수되는 비율 등이 이에 해당한다.

 

(5) 대응과 사상에 관련된 현상

학생들은 어린 시기부터 퍼즐 맞추기, 물건의 개수 세기, 과자를 가족이나 친구들에게 나누어 주기 등을 통해서 대응과 관련된 경험을 한다. 또한 여러 가지 모양을 통의 뚜껑 위에 있는 구멍 모양에 맞추어 넣는 놀이를 통해서도 이러한 경험을 한다. 이러한 경험은 닮음이나 합동과 같은 기하학적 변환을 통해서도 할 수 있다. 예를 들면 빛에 의해 스크린에 투사되는 그림자, 카메라의 원리를 이용한 여러 가지 현상, 축척에 의한 지도의 확대와 축소 등이 있으며, 여러 가지 함수의 합성과 역에 대한 경험을 제공할 수 있다.

 

나) 교수학적 현상학에 따른 함수의 지도

함수를 지도하는 관점 중에 어느 것을 선택할 것인가 하는 것은 국가 교육과정이 추구하는 전체적인 방향과 맞물려 있기 때문에 어느 하나의 관점이 다른 관점보다 무조건 좋다고 말할 수는 없다. 그러나 가능하다면 다양한 현상을 다루어 보고 이를 함수로 받아들이는 경험이 필요할 것이다.