기하와 증명 교수 학습 이론

가. 기하와 증명 지도의 의의

학생들은 기하 영역에서 도형과 공간의 구조에 대해서 학습하고, 도형의 특성과 공간적 관계를 분석하는 방법을 학습할 수 있다. 학생들은 기하 모델과 공간 추론을 활용하여 물리적 환경을 포함한 여러 가지 현상을 해석하고 기술할 수 있으며, 이는 문제 해결에 중요한 도구가 된다. 또한 기하 개념은 수학의 다른 영역과 실세계 상황의 문제를 표현하고 해석하는 데에 유용하다.

한편, 수학교육은 학생들의 수학적 사고 능력을 개발하는 데에 목적이 있다. 연역적 추론은 논리적 사고와 비판적 사고 함양에 크게 기여한다. 학교 수학에서 증명은 이러한 연역적 추론 능력을 개발하고 수학적 이해를 증진함으로써 수학적으로 사고하는 힘을 양성하는 데에 많은 도움을 준다.

그러나 오늘날 학교 수학에서 증명은 수학적 사고 방법으로서의 의미를 살리지 못하고 다분히 피상적이고 형식적으로 지도되고 있으며, 대부분의 학생은 단지 기계적인 방식으로 증명을 암기하고 있다는 문제점이 제기되고 있다.

 

나. 기하학의 역사적 발달

1) 기하학의 발달

이집트와 바빌로니아 시대에는 실용성을 위해 땅의 넓이, 도형의 길이, 부피 등을 연구하였으며, 도형의 관찰보다는 계산법을 중요시하여 구체적인 문제를 처리하기 위한 기술을 발달시키는 데에 주요한 목적이 있었다. 고대 문명에서 발달한 기하학은 논리적 체계가 결여되었으나 그리스에서 체계적인 학문으로 발달한 기하학의 밑거름이 되었다. '왜 그럴까?" 하는 의문과 호기심에서 비롯하여 일반적인 원리에 따라 조리 있게 따져 들어가는 논리적 사고가 싹트기 시작한 것이다.

 

2) 유클리드 기하

가) 유클리드 <<원론>>의 형성

유클리드 <<원론>>에서 기본적인 수학적 대상을 정의로써 기술하고, 직관적으로 자명한 진리를 공리와 공준으로 상정하였다. 그리고 정의, 공리, 공준으로부터 수학의 모든 명제를 체계적으로 연역적으로이끌어내었다.

 

▶ 정의

㉮ 점이란 부분이 없는 것이다.

㉯ 선이란 폭이 없는 길이이다.

㉰ 직선이란 그 위의 모든 점이 곧게 놓여 있는 선이다.

㉱ 면이란 길이와 폭만을 갖는 것이다.

㉲ 평면이란 그 위의 모든 직선이 곧게 놓여 있는 면이다.

㉳ 한 직선이 다른 직선과 만났을 때 생기는 이웃한 각이 서로 같을 때, 같게 되는 이 각을 각각 직각이라고 한다. 이때 한쪽 선분은 다른 직선과 수직이라고 한다.

㉴ 동일한 평면상에서 양쪽으로 한없이 연장하여도 서로 만나지 않는 두 직선을 평행선이라고 한다.

 

▶ 공리

㉮ 같은 것에 같은 것은 모두 서로 같다.

㉯ 같은 것에 같은 것을 더하면 그 전체는 서로 같다.

㉰ 같은 것에서 어떤 같은 것을 빼면 나머지는 서로 같다.

㉱ 서로 포개어지는 것은 같다.

㉲ 전체는 부분보다 크다.

 

▶ 공준

P1. 한 점에서 또 다른 한 점으로 한 직선을 그릴 수 있다.

P2. 유한직선을 무한이 연장할 수 있다.

P3. 임의의 점을 중심으로 하고 그 중심으로부터 그려진 임의의 유한 직선과 동일한 반경을 갖는 원을 그릴 수 있다.

P4. 모든 직각은 서로 같다.

P5. 한 직선이 두 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각보다 작으면 이 두 직선은 무한히 연장될 때 그쪽에서 만난다.

 

나) 공리적 방법

유클리드가 <<원론>>에서 체계화한 방법을 공리적 방법이라고 한다. 유클리드 <<원론>>의 수학사적 의의는 방대한 내용과 함께 수학적 명제를 체계화한 방법에 있는바, 그 체계화 방법이 바로 공리적 방법이다. 공리적 방법은, 인간이 직관적으로 자명하게 참으로 인정하는 사실을 공리와 공준으로 상정한 다음, 공리와 공준으로부터 다른 모든 수학적 명제를 끌어내는 방법이다. 이처럼 정의, 공리, 공준, 이미 참이라고 알려진 성질을 이용하여 새로운 참인 명제를 이끌어내는 것을 연역적 추론이라고 한다. 유클리드의 공리적 방법, 연역적 방법은 이후 수학의 학문적 발전에 근본 토대를 제공하였으며, 수학이라는 학문의 고유한 방법으로 정착되었다.

 

다) 연역적 추론과 귀납적 추론

귀납적 추론은 실험, 측정, 관찰, 구체적 조작 등을 통하여 몇 가지 사례에 대해 어떤 명제가 참임을 보인 다음에, 이 사례가 속한 전체 범주의 대상에 대해 그 명제가 참임을 주장하는 것이다.

연역적 추론은 정의, 공리, 공준, 이미 참이라고 알려진 성질 등을 이용하여 새로운 참인 명제를 이끌어내는 것이다.

 

라) 종합적 방법과 분석적 방법

종합적 방법이란 공준이나 공리, 정의에 근거해서 가정으로부터 결론을 끌어내는 선형적 방식을 말한다. 이러한 종합적 방식은 외형적인 모습에 불과하다.

결론에서 시작하여, 그 결론이 참이 되기 위해서 성립되어야 할 선행 조건들을 거슬러 올라가면서 가정과 연결하는 사고 방식을 분석적 방식이라고 한다. 분석적 방식을 통해 발견한 증명 방법을 종합적 방식으로 깔끔하게 정리하여 기술해 놓은 모습이 바로 유클리드 <<원론>>에 제시된 것과 같은 형태의 증명 모습이다.

물론, 분석적 사고 방식을 동원한다고 해서 모든 학생들이 증명 방법을 능숙하게 찾을 수 있는 것은 아니다.

 

마) 유클리드 <<원론>>의 교수학적 변환

'학교 수학'은 초 · 중 · 고등학교에서 일반 학생들을 대상으로 대중교육의 일환으로 지도되는 수학을 의미한다. 반면에, 전문 수학자들이 연구하는 학문 분야로서의 수학을 '학문 수학'으로 명명하기로 한다. 학문 수학을 가르치고 배우기 위한 목적에서 학교 수학으로 변환하는 것을 '교수학적 변환'이라고 한다.

프로이덴탈은 중학교 교과서에서와 같이 학생들의 수학적 상식에서 출발하여 적은 범위의 수학 내용을 조직화하는 것을 '국소적 조직화'로 명명하였다. 반면에 기본이 되는 전제로서 정의, 정리, 공준을 설정한 다음 그것으로부터 전체 수학 내용을 모두 조직화하는 방식을 '전반적 조직화'로 명명하였다.