대수 교수 학습 연구 2

1) 대수 학습과 문자의 이해

대수의 다양한 관점에서 보았을 때 위에서 사용된 문자 a, b는 대수 학습의 단계에 따라 서로 다른 의미로 해석될 수 있다. 학교 수학에서 $ y=ax+b(a\neq0) $ 를 지도할 때, ' a, b는 상수'라고 설명하고 학년이 올라가면서 대수 학습이 진전됨에 따라 문자 a, b의 의미와 역할에 대한 관점의 전환을 다루지 않으면 효과적인 대수 학습이 이루어지기 어렵다.

대수식	문자	대수식에서의 문자의 역할	문자의 역할에 대한 용어
$ y=ax+b(a\neq0) $	a, b	특정한 방정식이나 함수를 결정하면, 그 값이 하나의 값으로 고정된다	상수
		일반화된 대수적 표현이므로 아직 그 값이 결정되지 않았다	부정소
		a, b의 값에 따라 x의 값이나 x, y 사이의 관계를 결정할 수 있다.	매개변수

 

특히, 우리나라 수학 교과서에서는 매개변수 개념이 중학교 수준의 학습 내용에서 암묵적으로 다루고 있음에도 불구하고 개념에 대한 용어는 선택 교육과정인 '미분과 적분'에서 비로소 명시적으로 다루고 있다는 사실에 주목할 필요가 있다. a, b를 변수로 인식하지 못하는 경우가 많다는 실험 연구의 결과는 학교 수학의 교과서에서 $ y=ax+b(a\neq0) $에서 'a, b는 상수'라고 제시하고, 그 이후의 대수 학습에서 문자의 의미와 역할에 대한 보조 설명이 거의 제시되지 않은 상황과 무관하지 않은 것으로 보인다.

 

2) 문자식의 지도

Wagner는 대수에서 문자사용이 학생들에게 문제를 야기시킬 만큼 어려운 것인가 하는 문제에 대하여 문자를 사용하기는 쉬우나 이해하기는 어렵게 만드는 몇 가지 요인을 규명하여 그 요인을 다음의 두 가지 범주로 분류하고 있다. 하나는, 문자는 수와는 다르지만 유사한 성질을 가지고 있다는 것이고 다른 하나는, 문자는 일상언어와는 다르지만 유사한 성질을 가지고 있다는 것이다.

 

가) 문자사용의 일반성

수학 언어로써 사용되는 문자가 일반성을 갖는다는 것은 다음의 두 가지로 설명할 수 있다.

첫째는 문자와 '수'와의 차이점에 대한 설명으로, 수는 단일한 하나의 수를 표현하지만 문자는 $ 0<n<20, y=3x+2 $와 같이 동시에(그러나 개별적으로) 많은 수를 표현할 수 있다는 것이다. 이를 문자가 갖는 '동시 표현의 성질'이라고 부른다.

둘째는 문자와 '일상 언어'와의 차이점에 대한 설명으로, 일상 언어에는 명시적으로 또는 암묵적으로 처음부터 저절로 부과된 의미가 있기 마련이지만 문자는 고정된 의미의 집합에 연결되어 있지 않다는 것이다.

 

나) 문자사용의 유연성

수학 언어로써 사용되는 문자가 유연성을 갖는다는 것은 문자와 '일상 언어'와의 차이점으로 설명할 수 있다. 수학 언어에서는 주어진 대상을 지칭하기 위해서 거의 아무거나 임의의 문자를 선택할 자유가 있는데 이를 '문자 선택의 자유성'이라고 부른다. 문자가 갖는 '선택의 자유성'은 바로 수학의 언어에 유연성을 부여하는 것이 된다. 수학에서는 주어진 임의의 대상을 표현하기 위하여 자유롭게 교환할 수 있는 많은 종류의 문자가 있다는 사실은 문자의 변화는 반드시 그것이 나타내는 대상의 변화를 수반하는 것이 아님을 의미하는 것이다. 그러나 문자를 선택하는 데 관습적으로 사용되어온 암묵적인 규약이 존재한다는 사실도 간과해서는 안 된다.

구분	문자의 본질적 성질	수학 언어로서의 특징
'수'와의 차이점	동시 표현의 성질	문자 사용의 일반성
'일상 언어'와의 차이점	한계 결정의 자유성
	문자 선택의 자유성	문자 사용의 유연성

3) 대수적 사고 요소

가) 양적인 추론

양적인 추론은 문제 상황에서 주어진 자료와 조건 속에서 포함된 양을 대상으로 보고 양 사이의 관계를 파악하는 것으로, 초등수학의 '문제 푸는 방법 착지' 학습에서부터 양적 추론의 사고가 시작되고 중학교 수학에서부터는 변수와 더불어 양적 추론의 사고가 본격적으로 전개된다. 방정식을 세우는 활동은 같은 것으로 기대되는 두 양을 등호를 이용해 나타내게 되므로 양 사이의 관계를 파악하는 양적인 추론이 중요한 사고 요소로 작용한다.

 

나) 대수적 해석

대수적 해석은 문제 상황을 간단하게 정돈하여 대수적인 식으로 표현하는 것으로써 주어진 양 사이의 관계나 수의 성질, 수 사이의 관계를 대수적으로 나타내는 것이라고 볼 수 있다.

 

다) 변환 추론과 연산 감각

변환 추론은 식의 변형을 통해 동치인 식을 만드는 과정에 필요한 사고로서 주어진 대수식의 동치 변형에서 결정적인 역할을 하는 사고이다. 변환 추론을 이용한 식의 변형에서 교환 법칙, 결합 법칙, 분배 법칙과 같은 연산 법칙을 학습할 수 있다. 변환 추론과 연산 감각은 식을 세운 후에 식을 변형하거나 식을 조작하는 것으로 주로 중학교 수학 이후의 학습에서 나타난다고 할 수 있다.

 

라) 대입

대입은 좁은 의미로는 문자에 수를 대신 넣는 것이지만 넓은 의미로는 주어진 무엇을 다른 무엇으로 대치하는 것을 의미한다. 곧, 변수가 수치로 고정되면 특수화되고, 수치가 변수로 대치되면 일반화된다. 그리고 어떤 풀이 양식이 적용되면 특수화되고, 어떤 풀이 양식이 확장되면 일반화된다. 또 복잡한 식에서 부분적인 일부 식을 변수로 대치하면 구조적으로 단순화된 식이 되고, 주어진 식에서 변수를 식으로 대치하면 구조적으로 복잡한 식이 된다.

 

마) 관점의 전환

관점의 전환은 수식에 대한 다른 해석 또는 다른 방식의 대수적 해석을 하는 것이다. 자료를 미지인 것으로 생각하거나, 미지인 것을 자료로 생각하는 것 그리고 미지인 것을 조건을 만족하는 해로 생각하고 거꾸로 연구하거나, 부등식을 등식으로 또는 등식을 부등식으로 대치하는 것 등도 관점에 해당하는 예이다.

 

바) 대수적 원리

대수적 원리는 대수적 사고에서 형식 불역의 원리의 중요성을 강조한 '대수적 형식 불역의 원리'라고 할 수 있다. 이는 기존의 수 체계에서 인정된 성질이 유지되도록 수와 연산 및 관계를 확장하는 것이다.

 

사) 대칭성 알아보기

대수식을 포함한 문제의 해결에서 자료나 조건의 대칭성에 주목하고 결과를 점검하는 것은 매우 유용한 사고전략이다. 문자를 서로 바꾸어도 원래의 식과 같은 식이 되는 것을 말하는데 대칭식을 인수분해 하면 대칭식이 된다.

 

아) 비례적 사고

방정식을 이항에 의해 풀이하면 비례 관계가 드러나지 않지만, 등식의 양변에 같은 수를 곱하거나 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다는 등식의 성질을 이용한 풀이에서는 비례관계를 이용한 추론이 잘 드러난다.

 

자) 분석적 사고

분석적 사고는 거꾸로 풀이하는 방법으로써 우리가 찾고 있는 것을 마치 이미 이루어진 것처럼 가정하고 이것이 결과가 되는 선행 조건이 무엇인지를 찾고 다시 후자의 선행하는 원인이 무엇인지를 찾는 식으로 우리의 발자취를 살펴 이미 알려진 것에 이를 때까지 계속하는 방법이다. 방정식의 지도에서 문자 기호의 조작 측면만을 강조하는 데 그치지 말고 문제 해결에 분석적 아이디어가 고려될 수 있도록 유의할 필요가 있다.

 

차) 관계 파악 능력

관계를 파악하는 능력은 조건이나 정보를 다양한 형태로 인식하는 능력을 의미한다. 미지인 양과 주어진 양을 정확히 파악하여, 같을 것으로 기대되는 두 양을 비교하는 활동을 통해 방정식을 세우기 위해서는, 문제 상황을 여러 각도에서 조망해보아야 한다.

 

카) 가역적 사고

방정식에서 해를 검산하는 과정은 등식의 참, 거짓을 판단하는 과정으로, 해결 과정을 되돌아보면서 문제 상황 전체를 조정하는 능력이 필요하다. 가역적 사고는 연산의 순서를 바꾸어 생각하거나 해결 과정 전체를 살펴보면서 반성하며 추론할 때 나타날 수 있다.

 

타) 문제 해결 도구로 인식하기(방정식과 부등식 풀기)

방정식과 부등식은 주어진 문제 상황을 체계적이고 효율적으로 해결하는 강력한 도구이다. 학교 수학의 학습에서 학생들은 방정식과 부등식에 의한 문제 해결의 가치를 인식하는 것이 중요하다.