유리수 개념의 지도

유리수는 분모, 분자가 자연수인 분수에 양의 부호와 음의 부호를 붙인 수 및 0으로 정의된다. 혹은 '(기약) 분수로 나타낼 수 있는 수' 정도로 표현된다. 그런데 이러한 유리수 개념을 학습하는 학생들을 곤란하게 하는 것 중의 하나는, 바로 그 '분수' 개념이 매우 다양한 구체적 맥락을 가진다는 점이다. 외적인 상황은 다르지만, 비 관계에 의해 '본질적으로 같은 구조를 갖는 상황'으로 정리되어야 하므로 학생들에게는 받아들이기 어려운 문제이다. 이를 '구조적 동치 관계'라 표현하고 있다. 동치류의 개념은 유리수를 정의하는 데 핵심적인 역할을 한다.

 

◆ 외연적 정의와 내포적 정의

어떤 개념을 그 개념이 나타내는 대상에 공통적인 속성으로써 정의하는 것이 아니라 그 개념에 포괄되는 대상 전체로 정의하는 방식을 '외연적 정의'라 부르고 속성으로 정의하는 것을 '내포적 정의'라 부른다. 예를 들어 '사람'을 설명하기 위해 '사람'이라는 존재의 속성을 나열한다면 그것은 내포적 정의이고, 지구상에 존재하는 '모든 사람의 집합'을 제시함으로써 "이것이 사람이다"하고 설명한다면 그것은 외연적 정의이다. 외연적 정의는 최대한의 엄밀성을 확보하기 위한 형식화의 결과이다. 이러한 형식화된 정의를 통하여 엄밀성과 논리를 확보하게 되는 만큼 현실적이고 직관적인 맥락은 잃게 된다는 점이다. 학습자에게는 처음에 구체적이고 직관적인 표상을 수반하는 정의에서 출발하여 그 정의의 불완전함을 인식한 이후에 점진적인 형식화로 나아가는 과정이 생략될 수 없으므로, 이 문제는 굉장히 중요하다. 유리수 개념이 발생과 관련되는 다양한 맥락은 다음과 같다.

 

가) 등 분할된 부분과 전체

전체를 같은 부분으로 나누었을 때 전체와 부분 사이의 관계를 나타내는 것으로 유리수의 의미를 이해하는 것은 직관적이고 가장 간단하고 구체적인 상황이다. 예를 들어 막대를 3등분 한 것 중에 한 개와 막대를 6등분 한 것 중에 두 개는 같은 양 $ 1\over3 $ 을 나타낸다. '동일한 양'을 서로 다른 측도에 따라 전체와의 관계로 나타낸 것이다.

 

나) 분배 결과의 몫

어떤 주어진 양을 n개로 나누어야 하는 '분배 상황'에서 비롯된다. 예를 들어 $ 2\over5 $는 전체의 등 분할된 부분이라는 앞을 맥락에서는 '하나를 다섯 개로 나눈 부분 중의 두 개'를 의미하지만, '두 개의 사과를 다섯 명에게 공평하게 나누어줄 때 한 사람이 가져야 하는 양을 의미할 수도 있는 것이다. 이와 같은 '분배 결과의 몫'을 나타내는 유리수 개념은 결국 방정식 $ ax=b $ (a, b는 정수, $ a\neq 0 $ )의 해를 의미한다. 이는 상대적인 비율을 나타내는 유리수 개념의 일반적인 본질로 나아가는 토대가 된다고 할 수 있다.

 

다) 비율

'5등분한 사과의 2조각' 또는 '5명이 사람에게 2개의 사과를 분배한 결과'로 $ 2\over5 $ 의 개념이 이해되었다면, 다음 단계는 각 상황에 해당하는 동치인 상황이 무수히 많이 있을 수 있다는 것을 고려해야 한다. 예를 들면, 5 등분한 사과의 2조각, 10 등분한 사과의 4조각, 15 등분한 사과의 6조각,... 등과 같이 '동치'인 것으로 받아들일 수 있는 상황이 무한히 계속되다는 것인데, 여기에서 유리수의 의미로 파악되어야 하는 것은 계속 변화하는 외적인 상황과 두 양의 값에도 불구하고 본질적으로 내재하고 있는 변화하는 두 양 사이의 '동일한 관계'이다. 다양한 맥락을 상황에 따라 '동치인 것'으로 이해하는 것이 쉽지 않다는 것은 분명하다. 유리수 개념의 지도에서는 '동치 관계'라는 본질적인 아이디어가 이러한 다양한 상황을 의미 있게 구조화하는 수단이 된다는 것을 학생들에게 경험하게 하는 것이 무엇보다 중요하다.

 

라) 연산자

유리수 개념은 '곱셈 연산자'로 이해될 수도 있다. 이러한 관점은 극도로 형식화된 현대 수학의 관점을 나타내는 것이기도 하지만, 한편으로는 수학적 개념의 조작적인 본질을 함의하고 있는 것이기도 하다. 예컨대 3을 2로, 6을 4로, 9를 6으로 보내는 사상으로서 유리수 $ 2\over3 $의 의미를 이해하거나, 기하적 맥락에서 한 영역의 크기를 $ 2\over3 $ 만큼 줄인 영역의 크기를 대응시키는 활동으로 $ 2\over3 $를 경험할 수 있는 것이다. '어떤 대상이 주어지더라도' 그 대상의 $ 2\over3 $ 를 생각한다는 조작적인 의미를 획득하는 것은 유리수 개념의 학습에서 중요한 부분을 차지한다.