수와 연산의 지도 - 수 개념의 발생

학교 수학은 수와 그 연산의 개념에 대한 학습으로부터 시작된다. 초등학교에서 자연수, 분수, 소수의 개념을 학습하고, 중학교에서 음수와 무리수 개념을 학습하게 되며, 고등학교에서는 복소수 개념의 도입으로 모든 다항 방정식의 해를 논의할 수 있는 수 체계에 도달하게 된다.

그러나 수 개념을 처음으로 학습하는 아동들에게 수 체계를 추상화하는 과정은 간단하지 않다. 자연수 개념뿐만 아니라 음수, 실수, 복소수, 등의 새로운 개념이 학습될 때마다 학생들은 기존에 가지고 있던 지식 체계(또는 인지 구조)를 수정, 발전시키는 과정에서 많은 어려움을 겪게 마련이다. 수 개념의 학습과 관련한 그러한 문제들을 교사가 정확하게 파악하고 해결하기 위해서는 수 개념이 ‘발생’이라는 과정에 대한 충분한 이해가 필요한 것이다.

 

1. 수 개념의 발생

(1) 수 개념은 어디에서 추상되는가?

수는 추상화된 개념이다. 구체적인 대상에서 서로 다른 속성은 생략하고 같은 속성을 추출함으로써 얻어지는 것이다.

 

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위 그림을 보면 어떤 숫자가 생각나는가? 누구나 6을 떠올릴 것이다. 이제 다음 그림을 보자.

 

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이 그림은 똑같은 여섯 개의 돌멩이의 위치만 약간 달리하여 놓은 것으로, 돌멩이라는 대상 자체에는 아무 변화가 없는 상태로 생각할 수 있지만, 이 경우에는 6의 개념뿐만 아니라 3의 개념도 떠올릴 수 있을 것이다.

 

수 개념이 과연 ‘어디에서’ 추상화되는 것인가에 대한 견해의 차이는 수 개념을 지도하는 방법, 즉 산술 교수법의 차이로 이어지게 되었다.

 

첫 번째 관점으로 ‘사물에 의한 방법’이 있다.

이는 수가 사물 자체의 속성이며 그것을 직관함으로써 수 개념이 형성된다는 관점이다. 이 관점은 수를 가르치기 위해서는 아동들에게 다양한 사물을 여러 가지 방법으로 보여주기만 하면 되고, 아동들은 구체적인 사물이나 그림을 관찰하여 수 개념을 얻을 것이라 생각할 수 있다. 이 방법은 학습자의 주체적인 학습 활동이 의미를 갖지 못하고 수동적으로 받아들이는 감각에 인간의 사고가 종속될 위험이 있다.

 

두 번째 관점으로 ‘기호에 의한 방법’이 있다.

이는 수 개념이 구체적인 사물에 대한 경험과는 독립적으로 형성될 수 있다는 관점이다. 이 관점은 수란 정신적인 실재(reality)이므로 그것을 표현하는 기호를 다루는 규칙을 학습하는 것만으로 자연수 개념을 충분히 학습할 수 있다고 생각할 수 있다. 이 방법은 수 개념이 현실과는 유리된 공허한 기호로만 학습될 가능성이 있다.

 

이러한 수 개념의 전적으로 ‘사물 자체에서’ 비롯된다거나 ‘사물과 무관하게’ 형성되는 것이라고 믿는 사람은 없을 것이다. 서로의 관점이 가지고 있는 한계점과 문제를 같은 각도에서 고민해보고 보완해야 할 것이다.

 

20세기에 들어오면서 이러한 문제의식이 분명해졌으며, 수 개념의 이 두 가지 원천이 기여하는 측면을 통합적으로 바라볼 수 있는 관점이 정교하게 다듬어졌는데, 그 중심에 있는 것이 듀이와 피아제라고 할 수 있다. 이들의 아이디어가 갖는 특징은 수 개념이 추상화되는 원천을 ‘사물에 대한 인간의 활동’으로 보았다는 데에 있다.

 

듀이는 사물을 다루는 인간의 ‘활동으로부터’ 수 개념이 발생한다고 본 것이다. 물론 여기서 말하는 ‘활동’은 인간 앞에 문제 상황으로 주어지는 사물에 의해 촉발되는 것이기 때문에, 인간 외적인 사물 또는 상황과 인간 내적인 정신 활동은 수 개념의 발생에 있어서 서로 다른 한 축씩을 각각 담당하고 있다고 이해할 수 있다.

 

피아제는 수 개념과 같은 논리․수학적 개념은 사물의 속성을 추상함으로써 얻어지는 것이 아니라 사물에 대한 인간의 행동을 추상화함으로써 형성되는 것이라 주장하였다. 그리고 ‘경험적 추상화’와 ‘반영적 추상화’로 나누었다. 이러한 반영적 추상화를 통해 얻어지는 논리․수학적 지식은 경험적 추상화를 통한 물리적 지식에 비해 객관적이고 필연적인 지식이라고 할 수 있다.

 

듀이와 피아제의 관점에 대해서는 다음 포스팅에서 자세히 알아보도록 하자.