음수 개념의 지도

◆ 음수 개념의 역사적 발생

 

역사적으로 19세기에 이르기까지도 수 개념을 크기, 개수, 길이 등의 양적인 개념과 떼어서 생각할 수 없었기 때문에 음수 개념을 하나의 '수'로서 받아들이는 데 많은 어려움을 겪었다. 즉, 음수는 반직관적인 수였다.

그렇지만 일차방정식의 일반적인 해법을 형식적으로 완성하고자 하는 욕구는 결국 음수를 도입하게 했지만, 당시의 수학자들은 음수를 수로서 인정하기를 거부하였다. 이는 음수를 처음 학습하는 학생들에게서도 인식론적 장애가 생길 수 있다는 것을 의미한다.

음수와 허수 개념은 그것이 완전한 수 개념으로 정립되는 것과 관계없이, 그 자체의 실용적인 유용성으로 인하여 많은 수학자에 의해 계속 사용되어 왔다. 그러한 음수 체계의 확립이 완전한 성공을 거둔 것은 19세기 독일의 수학자 헨켈에 의해서였다. 그는 단지 양수 체계를 구성하는 여러 가지의 원리들이 그대로 유지되도록 하면서 음수 체계를 확장하였고, 이렇게 얻은 음수의 구조가 대수적으로 모순이 없다는 것만을 보였다. 방정식 풀이의 일반성을 확보하려는 필요성에 의해 발생한 음수 개념이 초보적인 아이디어로부터 출발하여 존재성에 대한 결론을 얻기까지는 천여 년의 세월이 필요했다.

 

◆ 음수 지도를 위한 모델

가) 셈 돌 모델

셈 돌 모델은 두 가지 색의 돌을 이용하여 정수를 나타내고 연산을 정의하는 모델이다. 셈 돌 모델에서는 덧셈과 뺄셈이 비교적 자연스럽게 설명되는 반면, 곱셈과 나눗셈을 설명하는 데에는 한계를 갖는다.

 

나) 우체부 모델

우체부 모델은 어음(받는 사람에게 소득)과 고지서(받는 사람에게 부채)를 배달하는 우체부를 등장시켜서 음수의 연산에 대한 실용적인 맥락을 학생들에게 제공하고자 하는 모델이다. 우체부 모델에서도 나눗셈은 자연스럽지 않지만, 곱셈은 설명할 수 있다. 일상적으로 일어나는 현상을 통하여 음수 개념의 필요성을 제기하고 실제적인 맥락에서 음수의 의미를 해석할 수 있는 상황을 제공한다는 점에서 의미가 있다.

 

다) 수직선 모델

음수 개념을 설명하기 위해 가장 많이 사용되는 것이 수직선 모델일 것이다. 수직선 모델에서는 '크기' 외에도 '방향'이라는 요소가 음수 개념에 포함되어야 한다는 것을 잘 보여준다. 또한 수직선 위에서 정수가 배열되는 방식은 '순서 구조'를 그대로 유지하고 있다는 장점이 있다. 두 정수 사이의 대소 관계는 다른 어떤 모델보다 수직선 모델에서 가장 명확하게 잘 드러난다. 하지만 음의 부호가 다중적인 의미를 갖는다는 약점이 존재한다. 이러한 상황이 학생들에게 줄 수 있는 혼란과 어려움에 대하여 교사는 충분히 이해할 필요가 있다.

 

◆ 형식 불역의 원리

음수 개념을 직관적으로 설명하는 데에는 어떤 모델도 나름의 한계를 가진다. 구체적인 모델을 통한 음수 지도가 아니라 자연수 체계에서 확장된 순수한 형식 체계로서의 음수를 지도하는 것이 오히려 더 필요하다는 주장이 가능하게 된다.

자연수로부터 정수로 확장하는 것과 같은 이러한 수 체계의 확장에서 하나의 원칙이 되는 것이 '형식 불역의 원리'이다. 이는 어떤 대수적 또는 기하적 구조를 확장할 때는 기존의 체계에서 인정된 성질이 유지되도록 해야 한다는 것을 의미한다. 연산의 구조가 유지되도록 수 체계를 확장해야 한다는 아이디어는 학생들에게 귀납적으로 도입될 수도 있다. 한편 해석 기하학의 도입은 음수의 연산 구조가 기하적인 의미에서도 자연수의 연산 구조를 유지하면서 확장된다는 것을 보여줄 수 있다.

 

◆ 음수 지도의 방법

음수의 가치는 형식적 구조 외에도 벡터 개념을 비롯한 물리학의 유용한 도구를 만들어내고 사용할 수 있게 하는 등의 실제적인 효용성을 포함한다. 형식적으로만 음수 개념을 정의하고 도입한다면 그러한 풍부하고 실제적인 가치를 학생들이 의미 있게 경험할 수 없다. 음수 지도를 위한 다양한 모델들은 각기 나름대로 한계를 지니고 있지만, 이들을 통하여 직관적인 이해와 현실적인 유용성을 학습하는 데 도움을 얻을 수 있다는 점은 부인하기 어렵다. 이러한 문제들을 충분하게 고려하며 직관적인 방법과 형식적인 방법이 조화되도록 하는 음수 지도가 필요할 것이다.

 

 

다음 포스팅에서는 유리수 개념의 지도 방법에 대해서 알아보도록 하자.