대수 지도

◆ 대수 지도의 의의

학습을 통해 학생들은 여러 가지 문제 상황을 수식으로 표현하여 해결하는 능력, 양 사이의 관계를 탐구하고 문제를 형식화하거나 일반화하는 능력, 문제를 구조적 관점에서 다룰 수 있는 능력을 기를 수 있다. 역사적으로 보면, 방정식의 풀이에서 출발한 대수는 연산에 의하여 정의된 군 · 환 · 체 등과 같은 구조를 다루는 일반 학문으로 발전하였고, 현대의 대수학은 해석학 · 기하학 등의 다른 수학 분야의 전개에 기초적인 구실을 하고 있다. 따라서 학교 수학의 대수 학습은 대수 자체의 내용 학습뿐만 아니라 수학 여러 분야의 이해를 위한 기초학습을 제공한다는 측면에서도 중요한 의의를 지닌다고 할 수 있다. 

 

1) 대수의 의미 변화

대수 지도에 관한 논의는 먼저 '대수란 무엇인가'에 대한 이해에서 시작되어야 한다. 하지만 대수가 무엇인지는 정의하기 쉽지 않다. 방정식의 풀이와 관련된 규칙을 뜻하는 용어 al-jabr에서 유래된 algebra의 의미는 그 기원으로 볼 때 방정식을 푸는 계산 이론과 관련이 깊다.

이러한 대수의 의미는 16세기 이후 기호가 본격적으로 사용되면서 기호를 사용하여 일반적인 문제를 해결하는 방법 또는 양 사이의 관계를 탐구하는 방법이라는 의미로 변하여 갔다. 18세기에는 대수가 '기호를 사용한 일반적인 계산 방법'으로 정의되고 있다. 또한 19세기에는 '수에 관한 추론에서 문자를 사용하는 과학'과 '기호의 일반적인 특징을 통해 양을 탐구하는 방법'으로 정의되고 있다. 그러나 20세기에 들어서는 대수의 정의가 분명하게 제시된 교과서를 찾아보기 어렵다. 새롭게 등장한 추상 대수로 인하여 이전의 대수 정의와는 다른 정의가 요구되고 있기 때문이다.

 

2) 대수의 정의

대수의 의미 변화를 살펴볼 때, 대수의 다양한 의미를 한 가지로 수렴하여 이해하기는 쉽지 않다. 대수는 한 가지로 정의되기보다는 대수 학습의 내용과 수준에 따라 다르게 해석될 수 있다.

Usiskin은 학교 대수를 다양한 측면에서 해석하여 문제 해결 과정의 학습, 산술의 일반화 학습, 여러 가지 양 사이의 관계 학습, 구조의 학습 4가지로 구분하여 정의하고 있다. 대수가 여러 가지 정의로 해석되는 것은 학교 수학의 대수를 어느 한 측면으로 강조하여 다루는 것은 바람직하지 않음을 보여준다. 학교 대수에서 문자 기호의 사용과 조작은 산술과 구분되는 분명한 특징이지만, 더 포괄적인 의미의 대수 학습을 위해서는 문자와 기호를 사용한 문제 해결, 일반화, 양의 탐구, 구조에 대한 학습이 학교 수학의 전 영역에서 적절한 학습 상황과 더불어 풍부하게 다루어져야 할 것이다.

 

3) 대수의 발달 단계

파피루스에 남긴 일원 일차방정식의 풀이 기록을 보면, 지금으로부터 약 3600년 전에 이미 대수의 역사가 시작되었음을 알 수 있다. 대수의 역사적 발달과정에서 중요한 역할을 한 것은 기호와 문자의 사용이라고 할 수 있다. 발달적 관점에서 보면 대수는 산술의 연속이라고 할 수 있다. 3000년 이상에 걸친 대수의 발달 단계는 기호와 문자사용을 중심으로 하여 언어적 대수, 생략적 대수, 기호적 대수의 세 단계로 구분된다.

 

가) 언어적 대수

디오판투스 이전 시대에 속하는 언어적 대수 단계는 특정 부호나 기호를 사용하지 않은 것이 특징이다. 풀이의 전체적인 과정이 일상 언어로만 기술된 단계이다.

 

나) 생략적 대수

디오판투스 시대에서부터 16세기 말까지 해당하는 생략적 대수 단계는 자주 반복되어 사용되는 개념이나 계산을 축약된 용어나 머리글자와 같은 생략 기호를 사용하여 나타낸 단계이다. 예를 들어 +를 p로 -를 m으로 나타내기도 하였다. 미지수를 표현하기 위해 문자를 사용하기 시작한 것도 이 단계의 특징이다. 디오판투스는 미지수를 표현하기 위해 문자의 사용을 처음 도입했다. 그러나 일반적인 방법은 쓰지 않았다.

 

다) 기호적 대수

기호 대수 단계가 시작되면서 문자는 미지의 양뿐만 아니라 주어진 양까지도 나타내는 데 사용하게 되었다. 대수는 일반해를 나타내는 도구로 그리고 수치 관계를 나타내는 규칙을 입증하는 도구로써 사용하게 되었다. 문자를 사용하여 미지수뿐만 아니라 임의의 상수까지도 나타냄으로써 문제를 일반적이고 형식적인 방법으로 취급하는 결정적인 계기가 되었다. 그리고 해법을 공식화하고 그 원리와 방법의 타당성을 연역적 추론에 의해 처리할 수 있게 되었다. 기호적 대수 단계에서 일반 해를 나타내는 것, 법칙을 증명하는 도구로써 대수를 사용하는 것이 가능해졌다. 또한 수 세기 동안 기호체계가 발전하면서 불필요한 설명을 줄이게 되었고, 함수 개념과 같은 여러 다른 수학적 개념의 발달이 용이해졌다. 이 기간에 대수학은 크나큰 발전을 이루었다.

 

4) 구조적 대수로의 발달

대수의 기호체계가 발달하면서 대수에 대한 관점은 절차적인 관점에서 구조적인 관점으로 변화하였다.

대수의 절차적인 면은 수치를 얻기 위해, 수를 가지고 행하는 산술적 연산을 주로 의미한다. 표면상으로는 대수적인 예가 되지만 여기서 조작되는 대상은 대수식이 아니라 그 식의 수치적인 대입 과정이라고 할 수 있다.

대수의 구조적인 면은 수에 대해서가 아니라, 대수식 자체에 대해 행해지는 여러 연산이라고 설명할 수 있다. 수행되는 연산을 통해 식의 구조가 변형되며 연산 결과도 여전히 대수식으로 남아 있다. 수학 교과서에서 대수는 대부분 문자식에 수를 대입하여 결과를 얻는 식의 계산 도입으로 절차적 접근의 외관을 띄고 있지만 곧바로 구조적 접근이 필요한 학습 내용으로 전개되고 있다.