(영화 속 수학) 큐브 속의 수학

◆ 풀어야 산다!!

 

1999년에 개봉된 빈센조 나탈리 감독의 영화 큐브.

영화 '큐브'는 빈센조 나탈리 감독의 작품입니다. 정육면체 모양의 큐브에 갇힌 이유도 모른 채 갇힌 사람들이 알 수 없는 규칙으로 움직이기 시작하는 방을 탈출하려 하지만 갑자기 불바다가 되기도 하고 꼬챙이가 튀어나오기도 하는 함정에 의해 하나둘 끔찍한 죽음을 맞이하면서 벌어지는 이야기입니다. 가까스로 살아남은 5명의 생존자는 밀실을 빠져나가기 위해 함정을 피할 수 있는 규칙을 찾아내야만 합니다. 바로 수학 공식을 활용해서 말이죠.

 

◆ 큐브의 시작

 

1만7576개의 큐브로 이뤄진 거대한 미로의 한 부분인 어느 한 정육각형 방에 사람들이 모이기 시작합니다. 그 방에 모인 사람은 뛰어난 리더십에 강인한 신체 능력을 갖춘 쿠엔틴, 다정한듯 하지만 음모론을 좋아하는 여의사 할로웨이, 리만도 울고 갈 수학을 전공한 겁 많은 소녀 리븐, 무기력하고 냉소적인 인물 워스, 7번의 탈옥 기록이 있는 탈옥 전문가인 렌으로 모두 5명입니다. 영문도 모른 채 큐브에 갇힌 이들은 이 미로에서 벗어나기 위해 노력합니다.

 

그러나 출구의 방향을 잘못 택하면 끔찍한 죽음이 기다리고 있어 탈출하기도 쉽지는 상황 속에 자신들이 알고 있는 여러 수학 공식을 활용해 큐브를 하나하나 탈출해 나갑니다. 그리고 이들이 최종적으로 무사히 큐브를 탈출할 수 있을지 아닌지는, 영화 말미에서야 드러납니다.​

이 영화는 소수, 좌표평면, 치환 벡터 등 여러 수학적인 내용을 담고 있으며, 문제를 해결해 가는 중요한 과정을 포함하고 있어서 수학적으로 검토해 볼 만한 가치가 있는 영화입니다.

 

▶ 첫 번째 수학, 소수

 

첫째는 소수입니다.

소수가 무엇인지 생각나시나요?

소수는 1과 그 자신만을 약수로 가지는 수를 말합니다. 예를 들어, 7의 약수는 1과 7뿐이므로 소수이지만, 8은 약수가 1, 2, 4, 8이므로 소수가 아니죠.

 

각 방(큐브)은 세 개의 숫자로 구성돼 있습니다. ‘017, 023, 061’ 이런 식으로 말이죠. 리븐은 지금까지 지나온 방에 쓰여 있던 수들을 기억해 내고 ‘소수’가 쓰여 있는 방이 함정이 있는 방이라는 단서를 찾아냅니다. 소각로 방에는 083이라는 소수가, 분자생물학 방에는 137이라는 소수가, 산성 방에는 149와 같은 소수가 있었고 그 방 모두 함정이기 때문에 이런 판단을 했다고 말합니다. 답이라고 생각은 했지만, 목숨이 걸린 문제이기 때문에 쉽게 믿을 수는 없었고 구두를 던져서 소수가 없는 방이 맞는지 다시 한번 확인해 본 후 믿음을 가지고 그 방으로 들어갔는데, 아무 이상이 없는 것을 보고 리븐의 판단은 거의 확실해졌고, 이제는 기계적으로 소수를 확인해 보고는 주저 없이 새로운 방으로 옮겨 다녔습니다. 그러나 출구는 나타나지 않고, 종종 시끄럽고 불길한 기계음만 들립니다.

또 자폐증 환자 '카잔'은 계산에 엄청난 능력을 갖추고 있어서 수가 커질수록 소수인지 아닌지 파악하는 게 힘들 때 각 방이 소수가 있는지, 즉 함정이 있는지 확인해 냅니다. 그런데 카잔이 천장에서 떨어지면서 이들은 다섯 명이 됩니다. 이후 소수가 없는 방에 쿠엔틴이 자신 있게 들어갔다가 상처를 입고 함정임을 깨닫습니다. 이제 그들이 예상했던 그 규칙이 더 이상 성립하지 않고 깨어진 것입니다.

 

▶ 두 번째 수학, 좌표평면

 

이 영화에 등장하는 두 번째 수학적 개념은 ‘좌표평면’입니다.

 

좌표평면에선 2차원, 혹은 3차원에서 특정 지점의 좌표를 표시할 수 있습니다. 3차원 좌표평면의 경우 x축, y 축, z 축으로 구성되죠. ‘017, 023, 061’ 자체가 좌표를 뜻하진 않았습니다. 각 좌표를 이루는 수를 더한 게 바로 좌표입니다. ‘1+7=8, 2+3=5, 6+1=7’ 되는데요. 이렇게 나온 좌표가 바로 이 방(큐브)의 초기 위치입니다.

초기 위치라니 무슨 말일까요? 이 살인 큐브는 움직이는 큐브입니다.

 

▶ 세 번째 수학, 치환 벡터

 

여기에서 세 번째 수학 개념인 벡터가 등장합니다.

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탈출구를 찾기 위해선 각 큐브의 초기 위치를 알아야 하는데요, 큐브들이 특정한 지점으로 움직이는 규칙으로 치환 벡터가 등장하게 되는 것입니다.

 

영화에서 치환 벡터는 인접한 수끼리 빼서 구합니다. 위에서 언급한 ‘017, 023, 061’을 보겠습니다.

017 → {0-1, 1-7, 7-0} = {-1, -6, 7} (x값)

023 → {0-2, 2-3, 3-0} = {-2, -1, 3} (y값)

061 → {0-6, 6-1, 1-0} = {-6, 5, 1 } (z값)

 

영화에서는 이를 각각 x값, y값, z값으로 계산합니다. 결국 이 큐브의 치환 벡터는 (-1, -2, -6), (-6, -1, 5), (7, 3, 1)이 됩니다.

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건축가인 워스 또한 큐브 탈출에 일조합니다. 사실 워스는 큐브 건축에 관여를 한 사람입니다. 사정이 있어 갇히게 됐죠. 그는 큐브의 기본 구성이나 원리 등을 사람들에게 귀띔합니다. 특히 가장 도움이 된 건 전체 큐브의 크기입니다.

 

워스가 밝힌 큐브의 크기는 가로, 세로, 높이 총 26개의 방으로 이뤄져 있으며, 즉 26 x 26 x 26 = 17,576개의 방과 별도의 출구 방 1개를 합하여 총 17,577개의 방이 존재하고 큐브가 살아 움직이고 있음을 깨닫습니다. 움직이는 방식이 치환법임임을 알게 되고, 처음에는 소수가 존재로 판단했던 함정을 이제는 제곱수로 알 수 있다고 규칙을 수정합니다. 리븐과 카잔은 소수 게임을 하며 안전한 방으로 이동하게 되는데, 그들은 결국 처음 그들이 만났던 방으로 돌아오게 되었음을 알게 됩니다. 리븐은 “우리는 움직이지 않았어야 했다”고 말합니다.

 

이 영화에는 수학 문제를 해결할 때 필요한 자세나 아이디어가 많이 들어 있습니다. 특히, 소수가 있으면 함정이라는 규칙을 생각하고 이것을 검토해 보고, 이 규칙이 깨졌을 때 새로운 규칙을 찾아보곤 하는 것은 초등학교에서부터 배우는 수학 문제 해결 방법인 ‘예상하고 확인하기’입니다.

 

지금까지 수학 공식으로 가득 찬 큐브에 대해 알아보았는데요. 비록 영화일 뿐이지만 수학을 잘해서 목숨까지 구하게 된다는 굉장히 흥미진진한 스토리의 영화였습니다.