수학자로 알아보는 수학 - 피타고라스 편

◆ 만물의 근원을 수로 이해한 피타고라스

 

지난 포스팅에서 우리는 최초의 수학자 탈레스에 대해 알아보았습니다.

이어 두 번째 시간으로 오늘 우리가 만나 볼 수학자는 피타고라스(Pythagoras)입니다.

 

수학에 관해 관심이 없어도 수학을 잘 몰라도 우리는 피타고라스는 수도 없이 많이 들어보았을 것입니다. 여러분은 '피타고라스' 하면 어떤 것이 떠오르나요?

 

피타고라스 정리, 혹은 피타고라스 음계, 정오각형, 정다면체 ....

 

수학에서 전반적으로 피타고라스가 안 나오는 곳이 없을 정도인데요, 그는 과연 누구이며, 수학적으로 어떤 내용들을 만들거나 정리했을까요?

 

우리나라 측우기, 자격루, 양부일구를 만든 사람이 장영실과 집현전 학자이듯 피타고라스의 정리나 많은 수학적 내용도 피타고라스 학파에서 만들어졌습니다. 그 중심에는 피타고라스가 있습니다. 라파엘이 그린 “아테네 학당”이란 그림에서는 수학자들이 한자리에 모여있습니다. 그중에서 왼쪽 하단부에 큰 책에 무엇인가를 적고 있는 사람이 피타고라스입니다.

 

◆ 피타고라스의 생애

피타고라스는 이오니아의 그리스 철학자이자, 피타고라스 학파라 불린 컬트 종교 단체의 교주입니다. 피타고라스는 기원전 570년경 그리스 사모스 섬의 명문가에서 태어났습니다. 어려서부터 부유한 아버지 덕분에 악기 연주와 그림, 운동 등에 활발한 활동을 할 수 있었고 그로 인해 피타고라스는 어릴 때부터 산술과 음악에 뛰어난 재능을 보였으며 평생 그것을 즐기며 살았습니다. 상인이었던 피타고라스 아버지는 그를 이집트, 그리스, 이탈리아, 에게해 등으로 데리고 다니며 많은 경험을 할 수 있도록 하였습니다. 아마도 어린 시절 이집트를 비롯하여 여러 지방을 널리 여행하면서 다양한 학문을 접했을 것으로 생각됩니다. 이집트로 유학하러 가서는 탈레스를 스승으로 모시고 수학과 천문학을 배우게 되었습니다.

 

오랜 외국 생활을 통해 수학적 지식을 쌓은 피타고라스는 56세에 다시 고향 사모스섬으로 돌아와 수학 이론과 법칙들을 연구하는 학파를 만들려고 했습니다. 그러나 고향에 적응하지 못하고 그 당시 그리스의 식민지였던 이탈리아 남부 크로톤에 정착하며 후원자 밀로(Milo)을 만나 학교를 세우고 피타고라스 학파를 만들었습니다.

 

학교를 설립한 피타고라스는 수학, 음악, 철학, 천문학과 종교의 관계를 연구했습니다. 그가 학교를 열자 600명가량의 우수한 사람들이 학교를 찾았고 그중 밀로의 딸 테아노(Theano)도 있었습니다. 그녀는 최초의 여성 수학자이고 또한 피타고라스의 아내입니다. 피타고라스의 제자들은 피타고라스가 개발한 종교적 의식과 훈련을 수행하고 그의 철학 이론을 공부했습니다. 학파는 크로톤의 정치에도 적극적으로 간섭했는데, 이는 결국 그 자신들의 몰락을 불러왔습니다. 피타고라스 학파가 회합하던 건물은 방화로 소실되었고 피타고라스는 도시를 떠날 수밖에 없었고 그는 말년을 메타폰 툼에서 보냈다고 합니다.

 

◆ 피타고라스 학파가 정리한 수학

이제부터 피타고라스 학파가 정리한 수학에 대해 알아볼까요?

피타고라스 학파에서 이야기한 대표적인 말은 이것입니다.

 

만물의 근원은 수이다.

 

사람들이 수를 이용하는 것은 사물의 수를 세거나 물건을 나누는 등 생활 속에서 수를 세고 셈하는 것이 필요하기 때문입니다. 토지를 측량하고 나라와 나라가 무역하며 우주를 관찰하는 천문학을 연구하는데도 수는 필요합니다. 이런 수에 대한 연구를 ‘수론’이라고 하며 정수(자연수, 자연수의 음수 및 0을 통틀어 이르는 말 예 1, 2, 3, 4, ... 0, -1, -2, -3, -4...)의 성질에 대해 연구하는 학문으로 ‘정수론’이라고 불립니다.

 

피타고라스의 수에 대한 연구는 짝수와 홀수, 도형수, 완전수, 초월수, 부족수, 친화수 등으로 분류하고 이 수들을 기초로 성질들을 증명하였습니다. (예전 포스팅에서 완전수와 초월수, 부족수, 친화수 등을 알아봤었죠)

 

짝수 : 4=2+2, 6=3+3과 같이 똑같은 두 수로 분할되는 수.

홀수 : 똑같이 둘로 나누어지지 않는 수.

 

피타고라스는 별자리가 자신만의 고유한 위치와 모양을 가지고 있는 것처럼 도형들도 각자 나타내는 수를 가지고 있다고 생각했습니다. 여러 수중에서도 수 하나하나를 점으로 생각하고 그것을 기하학적 모양을 배열하여 나타낼 수 있는 수를 도형수라고 합니다.

 

▶ 도형수

도형수의 기본은 삼각수입니다.

어떠한 물건으로 삼각형 모양을 만들 때 사용된 물건의 총개수를 말합니다.

 

첫 번째 삼각수 : 1

두 번째 삼각수 : 1+2=3

세 번째 삼각수 : 1+2+3=6

...

이러한 규칙에 따라 n번째 삼각수는 1부터 n까지의 합인 1+2+3+…+n입니다.

 

 

이쯤 되면 사각수에 대해 궁금해지지 않나요?

 

사각수는 사각형으로 물건을 배치했을 때 사용되는 물건의 총개수를 뜻합니다.

삼각수가 삼각형 모양을 하는 것처럼 사각수는 사각형 모양을 만드는 수입니다.

사각수는 1, 4, 9, 16... 정사각형 모양으로 배열된 점의 개수를 나타내므로 정사각수라고 합니다.

첫 번째 사각수 : 1

두 번째 사각수 : 1+3=4

세 번째 사각수 : 1+3+5=9

...

 

사각수는 가로와 세로의 점의 개수가 같기 때문에 제곱수라고도 합니다.

그러면 n번째 정사각수를 찾는 공식은 n×n 또는 1+3+5+7+(2n-1)이 됩니다.

 

피타고라스 학파는 수중에서 특별한 의미를 찾으려고 노력했습니다.

 

그중 약수들의 합을 이용하여 완전수, 초월수, 부족수, 친화수로 나누었습니다.

여러분들 완전수와 친화수 찾기에 도전해보는 것 어떨까요?