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수학 이야기31

대수 교수 학습 연구 1) 대수적 언어로서의 변수 '변수'는 수학에서 특히, 대수에서 중심 역할을 하는 개념이다. 리처드는 관계를 기호와 문자로 표시하는 대수적 추상화가 수학의 핵심이라면 변수 개념은 대수의 핵심이라고 하였다. 변수에 대한 올바른 이해는 대수 중심의 학교 수학의 내용과 기호로 표현되는 다양한 수학적 개념을 학습하기 위한 토대가 된다. 우리나라 수학 교육과정에서는 함수 개념 지도와 관련하여 기본 용어로 다루는 수학적 개념이다. 가) 변수 개념의 이해 칸트에 따르면 일반적으로 개념을 '이해'한다는 것은 어떤 특정한 대상을 이미 알고 있는 개념의 사례로 인식할 수 있다는 것을 의미한다. 주어진 대상을 어느 한 개념의 사례로 안다는 것은 그 대상에 대해서 그 개념에 대한 자신의 지식이 적절하게 적용되는지를 아는 것이.. 2022. 9. 14.
대수 지도 ◆ 대수 지도의 의의 학습을 통해 학생들은 여러 가지 문제 상황을 수식으로 표현하여 해결하는 능력, 양 사이의 관계를 탐구하고 문제를 형식화하거나 일반화하는 능력, 문제를 구조적 관점에서 다룰 수 있는 능력을 기를 수 있다. 역사적으로 보면, 방정식의 풀이에서 출발한 대수는 연산에 의하여 정의된 군 · 환 · 체 등과 같은 구조를 다루는 일반 학문으로 발전하였고, 현대의 대수학은 해석학 · 기하학 등의 다른 수학 분야의 전개에 기초적인 구실을 하고 있다. 따라서 학교 수학의 대수 학습은 대수 자체의 내용 학습뿐만 아니라 수학 여러 분야의 이해를 위한 기초학습을 제공한다는 측면에서도 중요한 의의를 지닌다고 할 수 있다. 1) 대수의 의미 변화 대수 지도에 관한 논의는 먼저 '대수란 무엇인가'에 대한 이해에.. 2022. 9. 13.
유리수 개념의 지도 유리수는 분모, 분자가 자연수인 분수에 양의 부호와 음의 부호를 붙인 수 및 0으로 정의된다. 혹은 '(기약) 분수로 나타낼 수 있는 수' 정도로 표현된다. 그런데 이러한 유리수 개념을 학습하는 학생들을 곤란하게 하는 것 중의 하나는, 바로 그 '분수' 개념이 매우 다양한 구체적 맥락을 가진다는 점이다. 외적인 상황은 다르지만, 비 관계에 의해 '본질적으로 같은 구조를 갖는 상황'으로 정리되어야 하므로 학생들에게는 받아들이기 어려운 문제이다. 이를 '구조적 동치 관계'라 표현하고 있다. 동치류의 개념은 유리수를 정의하는 데 핵심적인 역할을 한다. ◆ 외연적 정의와 내포적 정의 어떤 개념을 그 개념이 나타내는 대상에 공통적인 속성으로써 정의하는 것이 아니라 그 개념에 포괄되는 대상 전체로 정의하는 방식을 .. 2022. 9. 12.
음수 개념의 지도 ◆ 음수 개념의 역사적 발생 역사적으로 19세기에 이르기까지도 수 개념을 크기, 개수, 길이 등의 양적인 개념과 떼어서 생각할 수 없었기 때문에 음수 개념을 하나의 '수'로서 받아들이는 데 많은 어려움을 겪었다. 즉, 음수는 반직관적인 수였다. 그렇지만 일차방정식의 일반적인 해법을 형식적으로 완성하고자 하는 욕구는 결국 음수를 도입하게 했지만, 당시의 수학자들은 음수를 수로서 인정하기를 거부하였다. 이는 음수를 처음 학습하는 학생들에게서도 인식론적 장애가 생길 수 있다는 것을 의미한다. 음수와 허수 개념은 그것이 완전한 수 개념으로 정립되는 것과 관계없이, 그 자체의 실용적인 유용성으로 인하여 많은 수학자에 의해 계속 사용되어 왔다. 그러한 음수 체계의 확립이 완전한 성공을 거둔 것은 19세기 독일의 수.. 2022. 9. 11.
수 개념에 대한 인식 (듀이와 피아제) 지난 포스팅에서는 수 개념을 지도하는 방법 두 가지인 ‘사물에 의한 방법’과 ‘기호에 의한 방법’을 알아보고 듀이와 피아제는 한 개념에 국한되지 않고 각 관점이 각기 기여하는 다른 측면을 모두 설명하고 있다는 것을 알아보았다. 이번 포스팅에서는 듀이와 피아제의 이론에 대해 좀 더 자세히 알아보려고 한다. ◆ 수 개념의 원천이 되는 활동 (듀이) 듀이는 수 개념을 발생하게 하는 활동은 어떤 활동일까 하는 의문에 ‘측정 활동’에 의해 수 개념이 생겨나며, 그 측정 활동은 한계 상황의 인식에서 비롯된다고 설명한다. 인간이 활동하는 가운데 어떤 저항이나 한계를 느끼게 된다면 그 한계 속에서 최선의 결과를 얻기 위해 목적에 맞게 수단을 조정하게 되는데 이 과정에서 양에 관한 아이디어와 측정 활동이 발생하게 된다... 2022. 9. 10.
수와 연산의 지도 - 수 개념의 발생 학교 수학은 수와 그 연산의 개념에 대한 학습으로부터 시작된다. 초등학교에서 자연수, 분수, 소수의 개념을 학습하고, 중학교에서 음수와 무리수 개념을 학습하게 되며, 고등학교에서는 복소수 개념의 도입으로 모든 다항 방정식의 해를 논의할 수 있는 수 체계에 도달하게 된다. 그러나 수 개념을 처음으로 학습하는 아동들에게 수 체계를 추상화하는 과정은 간단하지 않다. 자연수 개념뿐만 아니라 음수, 실수, 복소수, 등의 새로운 개념이 학습될 때마다 학생들은 기존에 가지고 있던 지식 체계(또는 인지 구조)를 수정, 발전시키는 과정에서 많은 어려움을 겪게 마련이다. 수 개념의 학습과 관련한 그러한 문제들을 교사가 정확하게 파악하고 해결하기 위해서는 수 개념이 ‘발생’이라는 과정에 대한 충분한 이해가 필요한 것이다. .. 2022. 9. 9.