미분과 적분 교수 학습 이론

가. 미분과 적분 지도의 의의

초등학교에서의 규칙성은 중학교에서의 함수 개념으로 이어지며, 함수는 미분과 적분 내용을 전개하는 출발점이 된다. 수열의 극한, 함수의 극한과 연속성, 지수함수와 로그함수, 삼각함수와 같은 다양한 내용을 통합하면서 발전적으로 심화시킨 주제가 바로 미분과 적분이다.

미분과 적분은 자연 현상이나 사회 현상을 연구하는 자연과학이나 공학, 경제학, 사회학 등에서 활용도가 높은 내용 영역이기 때문에, 미분과 적분의 학습을 통해 수학의 가치와 유용성을 효과적으로 경험할 수 있다. 따라서 미분과 적분 교수 · 학습과 관련해서는 그 이전에 취급한 문자와 식, 함수, 기하와 증명에 대한 지도 방법을 종합적으로 고려해야 한다.

함수 자체가 이미 변화 현상을 탐구하는 동적인 성격을 지니므로, 함수의 변화를 다루는 미적분은 '변화에 대한 변화'를 취급한다는 점에서 동적인 특성이 두드러진 수학이라고 할 수 있다.

 

나. 미분과 적분의 역사적 발달

1) 아르키메데스의 구적법과 평형법

실진법을 효과적으로 응용하여 오늘날의 적분과 유사한 아이디어를 내놓은 수학자는 아르키메데스이다. 아르키메데스는 구적법으로 포물선의 넓이를 구했을 뿐 아니라 지렛대의 원리를 이용하는 평형법을 통해 구의 부피를 구했다. 아르키메데스는 좌표기하학의 아이디어와 당시 알려져 있던 원뿔과 원기둥의 부피 공식을 이용하여 구의 부피를 구했다.

 

2) 케플러의 포도주 통의 부피를 통한 미분의 아이디어 탐구

케플러는 뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 정립하기 이전에 이미 '통의 부피 계산'을 통해 미분의 아이디어를 설명했다. 케플러는 포도주통의 부피를 구하는 것으로부터 미분의 아이디어를 발전시켰으며, <<포도주 통의 모양과 부피의 측정>>이라는 책을 통해 회전체의 부피를 계산하고 최소의 재료로 최대 용량의 포도주 통을 만드는 극값 문제를 다루었다.

 

3) 카발리에리의 불가분량법

카발리에리의 불가분량법은 평면도형과 입체도형에 대한 다음의 두 가지 원리에 기초한다.

① 한 쌍의 평행한 직선 사이에 두 평면도형이 있고, 이 직선과 평행한 임의의 직선에 의해 잘린 두 평면도형의 선분이 항상 일정한 비율이면 두 평면도형의 넓이의 비율은 그 선분의 비율과 같다.

② 한 쌍의 평행한 평면 사이에 두 입체도형이 있고, 이 평면과 평행한 임의의 평면에 의해 잘린 두 입체도형의 넓이가 항상 일정한 비율이면 두 입체도형의 부피의 비율은 그 넓이의 비율과 같다.

 

4) 뉴턴과 라이프니츠의 미적분학

미적분학의 본격적인 정립은 17세기 뉴턴과 라이프니츠에 의해 이루어졌다. 뉴턴은 물체의 운동과 그 변화를 나타내기 위한 역학적인 관점에서, 라이프니츠는 곡선에 접선을 긋는 기하학적 관점에서 미분의 아이디어를 생각해냈다.

수학자이기에 앞서 과학자인 뉴턴에게 수학은 자연과학, 특히 물리학을 연구하기 위한 수단이었으므로, 그는 변화하는 양을 소재로 하는 유율법에 의해 미분을 생각해냈다.

라이프니츠 미적분학의 강점은 기호 표현에 있다. 현대의 수학 기호와 거의 유사한 라이프니츠의 기호는 뉴턴의 기호에 비해 편리하여 미적분을 계산 기술로 발전시키는 데 크게 기여했다. 라이프니츠는 곡선의 접선을 긋는 문제와 관련하여 미분의 아이디어를 전개했다.

이처럼 뉴턴과 라이프니츠는 각기 다른 방법으로 미분의 아이디어에 도달했음에도 불구하고, 이를 둘러싼 뉴턴과 라이프니츠의 우선권 논쟁이 유명하다. 오늘날에는 두 사람이 각기 독립적으로 연구했고, 미적분학의 발견은 뉴턴이 앞서지만, 발표는 라이츠니츠가 먼저이며, 표기법은 라이프니츠가 우위인 것으로 인정된다.

 

5) 18세기 이후의 미적분학

17세기에 정립된 미적분학의 토대 위에 18세기는 미분과 방정식을 결합한 미분방정식을 탐구하게 되었다. 18세기에 유명한 수학자들은 자신의 이름이 붙은 미분방정식을 탐구하게 되었다. 바이어 스트라스는 도함수를 갖지 않는 연속함수를 알아냈다. 이를 '바이어 스트라스 함수'라고 한다.

디리클레 함수는 모든 유리수에서 불연속이지만 모든 무리수에서 연속이 되며, 리만 적분은 가능하지 않고, 레스베크 적분은 가능하다.

 

다. 미분과 적분 교수 · 학습 관련 연구

1) 극한과 연속에 대한 개념 정의와 개념 이미지

개념과 정신적으로 관련된 모든 성질과 과정 및 심상들로 이루어진 인지 구조를 '개념 이미지'라 하고, 개념을 정확히 설명하는 언어적 정의를 '개념 정의'라 한다. 개념 정의를 이해할 때 개념 이미지를 동원하는 것이 효과적이지만, 개념 이미지를 거치는 과정에서 여러 가지 오류가 나타날 수 있다.

수열의 극한을 다룰 때, 수열을 수직선 또는 좌표평면에 나타내는데, 이는 수열의 극한에 대한 심상을 형성시켜 학생들의 이해를 돕기도 하지만 극한에 대한 오개념의 원인이 되기도 한다. 또한, 수열은 끊임없이 진행하면서 변화한다는 생각을 갖게 되므로, 상수 수열의 극한값은 존재하지 않는다고 생각을 심어줄 수 있다.

연속이라는 표현은 곡선의 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있다는 직관적인 개념에서 비롯된 것으로, 학생들은 '연결되어' 있으므로 '불연속'이라고 생각하는 경향이 있다.

 

2) APOS 이론

이 이론의 핵심어는 행동(Action), 과정(Process), 대상(Object), 스키마(Schema)로, APOS는 네 단어의 첫 알파벳을 따라 명명한 것이다.

첫째, 어떤 개념을 익히기 위해서는 우선 대상에 대한 변환을 적용해 보게 되는데, 이러한 낱낱의 변환을 '행동'이라고 한다.

둘째, 대상에 대한 행동을 반복하면서 반성함으로써 그 행동이 내면화되어 하나의 정신적인 '과정'이 된다.

셋째, 과정을 전체적으로 인식하기 시작하면서 과정은 대상화되어 하나의 '대상'이 된다.

넷째, 행동, 과정, 대상이 조직화하고 연결됨으로써 하나의 일관성 있는 구조가 되면 '스키마'가 된다.

 

3) 역사 발생적 원리

가) 고전적 역사 발생적 원리와 현대적 역사 발생적 원리

수학을 공리적으로 전개된 기성품으로 간주하고 가르치는 형식주의의 단점을 극복하기 위해 제기되어온 교수학적 원리가 '역사 발생적 원리'이다. 역사 발생적 원리는 1866년 핸켈이 발표한 '재현의 법칙'에 기초한다. 재현의 법칙에 충실하게 수학의 역사적 발달과 개인의 수학 학습 사이의 평행성을 어느 정도 인정한다는 점에서 '고전적 역사 발생적 원리'라고 명명한다. 이에 반해 프로이덴탈은 역사 발생을 중요시하지만, 역사적 발달 과정 그대로를 재현하는 것이 아니라 그것을 학습자의 현실적 문맥을 통해 재구성해야 한다고 주장한 점에서 다소 차이가 있다. 여전히 역사 발생적 원리는 따르고 있기는 하지만, 그 이전과 차이를 보이기 때문에 '현대적 역사 발생적 원리'라고 명명할 수 있다.

 

나) 역사 발생적 원리의 의의

수학의 발생 과정, 즉 수학사를 살펴보면 수학이 반드기 연역적으로 발전해 오지 않았음을 알 수 있다. 역사 발생적 원리에 따르면 인간 개개인의 수학 학습 과정은 수학사의 발전 과정과 어느 정도의 동형성이 있으므로, 수학사에서 수학자들이 어떤 개념을 둘러싸고 겪은 어려움은 그 수학적 개념을 학습하는 학생들에게도 나타날 수 있다. 완성된 산물로서 가르치고 있는 학교 수학의 대부분의 내용은 사실 수 세기에 걸친 치열한 논쟁과 연구의 결과이다. 수학의 연구는 초기부터 엄밀한 연역적 방식으로 이루어진 것이 아니라 발전과정을 통해 귀납적으로 이루어져 왔으며, 이런 점이 지도에 반영될 수 있도록 하기 위해 수학의 연역적 전개 양식이 아닌 발전적 양식에 따라 재구성하는 것이 바람직하다.

 

다) 토플리츠의 발생적 접근

토플리츠의 책은 흔히 미분을 먼저 도입하고 적분을 그 역과정으로 설명하는 현재의 미적분 교재의 구성과 흐름이 다르다. 실제 역사적으로 미분은 17세기 말에 생겨난 데 비하여 적분 개념의 발생은 기원전 3세기경까지 거슬러 올라가야 한다. 이처럼 기본적인 전개는 미분 → 적분의 순서를 따르더라도 미적분의 역사적 발생 과정을 염두에 두고 발생의 맥락이 드러날 수 있도록 지도하는 것이 필요하다.