기하와 증명 교수 학습 이론 2

3) 해석 기하

가) 해석 기하의 의미

해석 기하는 데카르트가 창안한 기하학으로서, 좌표 개념을 도입하여 도형을 다루는 것을 의미한다. 유클리드는 직선, 원 등의 도형을 전체적이고 종합적으로 파악한 반면에, 데카르트는 직선이나 원을 분해하여 직선이나 원 위에 있는 각각의 점을 연구하였다. 데카르트는 직선이나 원 위에 있는 점의 좌표 (x, y)에서 x와 y 사이에 성립하는 방정식의 관점에서 도형을 연구한 것이다.

 

나) 해석 기하의 지도

기하의 여러 가지 접근 방법은 서로 다른 안목을 제공하므로, 학생들이 종합 기하, 해석 기하, 변환 기하 등의 내용을 학습하여 이들 기하 체계를 비교, 대조하고 상호 번역할 수 있는 기회를 가질 수 있도록 지도해야 한다. 그리고 주어진 문제를 다양한 방법으로 다루어볼 기회를 가짐으로써 문제에 따라 각 접근법의 장단점이 있음을 이해하도록 해야 한다.

예를 들어, 학생들이 고등학교에서 도형을 해석 기하적 방법으로 다룬 후에, 이를 중학교에서 학습했던 종합 기하적인 방법과 비교하고 통합할 수 있도록 교육과정과 교과서를 구성할 필요가 있다.

동일한 수학적 명제를 증명하는 다양한 방법이 존재하며, 동일한 수학적 대상을 서로 다른 관점에서 파악할 수 있음을 학생들이 인식하도록 하는 것은 교육적으로 큰 의미가 있다.

 

4) 비유클리드 기하

비유클리드 기하학에는 대표적으로 쌍곡 기하학과 타원 기하학이 있다.

 

▶ 쌍곡 기하학 : 유클리드 기하에서의 평행선 공준과 동치 명제인 '평면 위에서 직선 l 위에 있지 않은 한 점 A를 지나고 직선 l과 만나지 않는 직선은 단 하나 존재한다' 대신에 '평면 위에서 직선 l 위에 있지 않은 한 점 A를 지나고 직선 l과 만나지 않는 직선은 여러 개 존재한다'를 공준으로 내세운다. 이렇게 형성된 쌍곡 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180º보다 작게 된다.

▶ 타원 기하학 : 유클리드 기하에서의 평행선 공준 대신에 '평면 위에서 직선 l 위에 있지 않은 한 점 A를 지나고 l과 만나지 않는 직선은 하나도 존재하지 않는다'를 공준으로 내세우며, 여기에서는 삼각형의 내각의 합이 180˚보다 크게 된다.

비유클리드 기하의 출현은 집합론의 형성과 함께 수학기초론에 대한 논쟁을 촉발했다.

 

5) 변환 기하적 관점

위에서 살펴본 유클리드 기하, 해석 기하, 비유클리드 기하 이외에도 사영 기하, 화법 기하, 위상 기하, 프랙탈 기하 등이 발달하였다.

	합동	닮음	아핀	사영	위상
곡선의 개폐성	O	O	O	O	O
내부, 외부, 경계점	O	O	O	O	O
선형순서, 원형순서	O	O	O	O	O
연결성	O	O	O	O	O
직선성	O	O	O	O	X
볼록성	O	O	O	X	X
평행성	O	O	O	X	X
거리의 비	O	O	O	X	X
각의 측도	O	O	X	X	X
길이	O	X	X	X	X
기하학	유클리드 기하		아핀 기하	사영 기하	위상 기하

가) 변환 기하의 지도

변환 기하적 방법은 현재 학교 수학에서 강조되고 있는 분야는 아니다. 변환 기하적 접근은 함수적 사고 양성과 밀접한 관련을 맺기 때문에 더욱 강조되어야 한다. 특히, 평행이동, 대칭이동 등의 변환은 함수적 사고를 강조할 수 있는 좋은 예이다.

현재 학교 수학에서 변환 기하와 관련되는 내용은 대부분 합동 변환과 관련된다. '도형과 도형 움직이기', '도형 움직이기', 도형의 대칭', '도형의 이동'이 모두 합동 변환과 관련되는 내용이다. '도형과 도형 움직이기', '도형 움직이기', '도형의 대칭'은 공간 감각 양성을 목적으로 하고 있지만, 변환 기하와 관련되는 내용이다. 평행이동은 엄밀하게 이야기하면 '도형의 이동'이라는 변환 기하적 관점에서 다루는 것이 아니라 일반적인 함수의 그래프를 지도하기 위한 수단으로 다루고 있다.

이 단원에서 f(x, y)=0으로 나타낼 수 있는 도형을 x축의 방향으로 a, y축의 방향으로 b만큼 평행 이동한 도형의 방정식이 f(x-a, y-b)=0으로 표현될 수 있음을 이해하는 것을 어려워한다. 마찬가지로 학생들은 f(x, y)=0으로 나타낼 수 있는 도형을 원점에 대해 대칭 이동한 도형의 방정식이 f(-x, -y)=0으로 표현될 수 있음을 이해하는 데서 어려움을 겪는다. 그 원리를 따져보면 충분히 이해할 수 있는 내용이지만, 관계적 이해보다는 도구적 이해를 추구하는 학생들에게는 큰 어려움이 된다.

평행 이동한 도형의 방정식을 설명하는 현행 교과서의 접근 방식은 크게 세 가지로 분류된다. 첫 번째 방식은 구체적인 수치를 가지고 설명한 다음에 형식적인 문자를 도입하여 진행하는 것이다. 두 번째 방식은 구체적인 수치로 설명하는 과정 없이 곧바로 a와 b로 설명하는 것이다. 세번째 방식은 평행 이동한 후의 도형의 방정식으로 끌어내는 것이다. 학생들의 인지 수준을 고려하여 형식화하는 과정을 점진적인 과정으로 개선할 필요가 있다. 학생들이 다소 점진적인 과정을 통해 형식적인 함수식을 이해하도록 함으로써, 평행이동과 대칭이동과 같은 변환 기하와 관련된 내용을 충실하게 이해할 수 있도록 돕는 것이 중요하다.