(동화 속 수학) 이상한 나라의 앨리스 속 수학 2편

지난 포스팅에서는 거울 속의 앨리스 안에 들어있는 수학적 원리에 대해서 몇 가지 살펴보았습니다. 이번 시간에는 이상한 나라의 앨리스 안에 들어있는 수학적 원리에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. ‘앨리스’의 작가 루이스 캐럴은 정통 수학에 대한 기여보다 ‘유희 수학’에 빠져 수학 퍼즐 등을 즐겼는데 그 안에 들어있는 유희 수학을 찾아볼까요?

 

◆ 루이스 캐럴이 좋아한 숫자는 42

 

루이스 캐럴에게는 42가 매력의 숫자였나 봅니다. 왜 그런지 이유는 알 수 없지만, 그의 작품 속에서는 42이란 숫자가 여기저기에 교묘하게 숨어 있습니다. ‘이상한 나라의 앨리스’에 실린 그 유명한 존 테니엘의 삽화가 모두 42장인 것도 우연의 일치가 아닙니다.

 

‘이상한 나라의 앨리스’ 제8장 ‘여왕의 크로케 경기장’ 초입부에서 장미에 빨간색을 칠하고 있는 카드 정원사들의 숫자는 각각 2, 5, 7입니다. 이들은 모두 소수로 합계는 14입니다. 그런데 10 이하 소수 중에서 여기서 빠진 것은 3뿐입니다. 왜 하필이면 3이 빠졌을까요? 여기에서도 숫자 42와 관련되어 있다는 것을 알 수 있습니다. 14 곱하기 3은 42입니다. 이런 방식으로 42라는 숫자가 작품 여기저기에 숨어 있습니다.

 

‘거울 나라의 앨리스’ 속의 한 장면에서도 42란 숫자가 숨어있습니다. 여기서는 그 숨어 있는 42를 찾는 것은 절대 쉽지 않습니다. 다음 장면에서 42를 찾아보도록 해보세요.

 

제5장 ‘양털과 물’의 중반 부분에서 여왕과 앨리스는 나이에 대해 대화합니다. “네 나이부터 시작하자. 몇 살이지?” “일곱 살 반이에요. 정확하게.” “정확하게 말할 필요 없어. 그 말을 하지 않아도 믿으니까 말이야. 이제 너에게 믿을 만한 사실을 알려주마. 나는 꼭 백한 살하고 다섯 달 하루를 살았단다.”

 

여러분은 어디에서 42라는 숫자가 있는지 눈치채셨나요? 눈치채셨다면 수학에 아주 뛰어난 감각을 가지고 있다고 볼 수 있습니다. 여왕의 나이를 윤년을 고려해 101살 5개월 하루를 모두 계산하고, 붉은 여왕과 흰 여왕의 나이를 합하면 74,088일이 됩니다. 이는 42×42×42로, 즉 42의 세제곱 값입니다. 신기하지 않나요?

이렇게 루이스 캐럴은 동화의 사소한 장면에 42를 많이 배치하고 있습니다.

 

 

◆ 계속 진화하는 진법의 구구단

 

‘이상한 나라의 앨리스’ 제2장 ‘눈물 연못’에 나오는 주인공 앨리스의 독백에서는 이런 문장이 나옵니다. 이해하지 못할 아주 이상한 구구단 셈법인데요.

 

“… 4 곱하기 5는 12이고, 4 곱하기 6은 13, 그리고 4 곱하기 7은……. 안 돼! 이런 식으로 가면 20까지는 절대 도달하지 못할 거야! …”

 

이 장면은 앨리스가 몸이 작아졌다 커졌다 변화를 계속하자 자신의 정체성에 대해 혼란을 느낀 나머지 자신이 과거의 자신인지 확인하기 위해 자신의 머릿속 지식을 테스트해보는 장면입니다.

 

우리들은 머릿속이 혼란해진 앨리스가 "계산을 잘못했구나" 하고 그냥 넘어갔겠지만 사실 여기에는 정교한 계산 방식이 숨어 있습니다. 누구도 생각할 수 없을 법한 '유희 수학'을 즐기는 루이스 캐럴이기 때문에 가능한 생각입니다.

 

앨리스의 구구단 셈법을 차례대로 수식으로 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

4 × 5 = 12 (10진법의 20을 18진법으로 표기) 4 × 6 = 13 (마찬가지로 24를 21진법으로 표기) 4 × 7 = 14 (28을 24진법으로 표기) 4 × 8 = 15 (32를 27진법으로 표기) 4 × 9 = 16 (36을 30진법으로 표기) 4 × 10 = 17 (40을 33진법으로 표기) 4 × 11 = 18 (44를 36진법으로 표기) 4 × 12 = 19 (48을 39진법으로 표기)

 

여러분들은 앨리스가 무슨 계산을 하고 있는지 아시겠나요?

 

앨리스의 구구단은 곱셈이 진행되면서 곱셈 값만 커지는 게 아니라 진법이 3씩 늘어나고 있습니다.

 

18진법에서는 4×5는 18+2이므로 12로 표기되고 그다음 21진법에서는 4×6은 21+3이므로 13이 되는 것입니다. 진법이 변화하면서 숫자가 늘어나니까 우리가 일상생활에서 활용하는 구구단과는 전혀 다른 결과가 나오게 되는 것입니다.

그리고 계속 3씩 변하는 진법에 의해 숫자를 표기하는 방법이 계속 달라지기 때문에 수십번 계산하여도 영원히 20에 도달할 수 없게 되는 것입니다.

 

진법이 계속 3씩 커지므로 42+42나 43+43에 해당하는 숫자는 영원히 나올 수 없게 됩니다.

 

4×13=52를 42진법으로 표기하면 42+10이므로 20이라고 쓸 수 있겠다고 생각할 수 있지만, 실제 결과는 그렇지 않습니다. 10진법에서라면 10이 2개면 20으로 표기하듯이 42진법이라면 42+42라야 20처럼 표기할 수 있는데 이때도 이미 10이란 숫자를 42가 되기 전에 사용해야 하므로 20이라고 쓰기보다는 끝자리의 ‘0’을 대체하는 다른 숫자를 써줘야 합니다.

 

앨리스의 구구단 셈법에는 이와 같은 수학적 트릭이 숨어 있는 것입니다.

 

이처럼 수학적인 상황을 잘 생각하면서 동화를 읽으면 수학적인 사고를 기를 수 있으며 동화의 내용을 더욱 재미있게 이해하고 감상할 수 있을 것입니다.